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  • 24 abr. 2012

    CAPITULO II: Sistema De Fuerzas

    I.       SISTEMA DE FUERZAS DISTRIBUIDAS
    Estudiaremos el caso en que las fuerzas se distribuyen en forma continua sobre una línea, área o volumen en un sólido rígido, a diferencia que el capítulo anterior en que se consideraban fuerzas puntuales o concentradas.
    En realidad, éste es el caso más real en las estructuras ya que al interactuar dos elementos determinan un área de contacto mas no un punto.
    Determinaremos el modo en que se representan las fuerzas distribuidas por medio de fuerzas concentradas equivalentes.

    1.1 FUERZAS DISTRIBUIDAS POR UNIDAD DE LONGITUD (CARGAS LINEALES)
    Sea el elemento lineal S sobre el cual actúan las fuerzas distribuidas q.





    La carga lineal en un punto resulta de multiplicar el valor de q en ese punto por el elemento de la longitud de arco en el mismo punto (ds). Entonces, cada fuerza tendrá un valor igual a qds, por lo que, la resultante total de las fuerzas que actúan a lo largo de s será:

    R = ∫ q ds                  R = k ∫ q ds

    Esta resultante actúa en el punto C (Xc, Yc) denominado centro de presión.


     
    El centro de presión se calcula con el Teorema de Varignon con respecto al origen de coordenadas.
    MR = ∑ Mi
    rc X R = ∑ (ri X q ds)

    Considerando que la carga distribuida es paralela a Z, es decir actúa sobre un elemento lineal en el plano XY, tendremos:

    (Xc i + Yc j) X –R k = ∫ (xi i + yi j) X (-q ds)k
    R Xc j - R Yc i = ∫ (xq j – yq i) ds.

    Igualando componentes:
    R Xc = ∫ xq ds, por lo que: Xc = ∫ xq ds
    ∫ q ds

    R Yc = ∫ yq ds, por lo que: Yc = ∫ yq ds
    ∫ q ds

    EJEMPLO 1
    Determinar la resultante de carga uniformemente distribuida sobre una longitud L con una intensidad de carga de w (Kg/m) a lo largo del eje X

     
    Si: R = ∫ q ds (k)
    Para el problema: 

    ·         Nótese que la magnitud de R corresponde al área bajo la curva de distribución de carga.

    La línea de acción de la fuerza pasa por el punto C(Xc, 0, 0).


    La resultante R pasa por el punto (L/2, 0, 0), que además coincide con la coordenada en X del centro de gravedad de la figura rectangular que forman las cargas.

    1.1 FUERZAS DISTRIBUIDAS POR UNIDAD DE AREA (CARGAS SUPERFICIALES)
    Sea el elemento de área A sobre el cual actúan las fuerzas distribuidas p.

     
    En Mecánica, la distribución de fuerzas por unidad de longitud o de área se denomina presión. La distribución de las fuerzas en una unidad de área formará un sólido imaginario denominado espacio presión cuya altura es la magnitud de la presión y el punto donde actúa la resultante de fuerzas distribuidas es el centro de presión.


     
    Aplicando el Teorema de Varignon, se pueden determinar las coordenadas del centro de presión. Tomamos momentos con respecto al eje X y Y.


     
    De donde:
    Xc = ∫ x pdA
             ∫ p dA

    Yc = ∫ y pdA
             ∫ p dA





     

    EJEMPLO 2
    Se tienen 30 paquetes de 90 Kg cada uno sobre una plataforma de madera, la que a su vez se apoya sobre 3 viguetas de 1.5 m de longitud. Determinar la presión sobre la plataforma y la presión sobre cada vigueta.
     
    P = F/A = 90(30)/(1.5x1.8) = 1000 Kg/m2.

    Sobre cada vigueta se apoyan 10 paquetes, por lo que:

    P’ = F/L = 90(10)/1.5 = 600 Kg/m ó P’ = 1000 Kg/m2 (0.6) = 600 Kg/m.

    1.1 FUERZAS DISTRIBUIDAS POR UNIDAD DE VOLUMEN
    El caso más conocido de fuerzas distribuidas sobre un cuerpo o volumen es la atracción gravitacional. El peso de un cuerpo constituye la resultante de una serie de fuerzas paralelas que la Tierra ejerce sobre cada partícula del cuerpo. De esta resultante interesa determinar no sólo su valor (peso) sino también su punto de paso (centro de gravedad o cetro de masa).

    TEOREMAS DE PAPPUS-GULDIN (PAPPUS GULDINUS)
    Enunciado por Pappus el año 300aC y replanteado por Guldinus en 1640 dC.
    Estos teoremas relacionan las áreas laterales y los volúmenes con el centroide.

    ·         TEOREMA 1. El área engendrada por una línea que gira alrededor de un eje coplanar sin cortarlo, es igual al producto de la longitud de la línea por la longitud del arco descrito por el centroide de la línea.
     

    ·         TEOREMA 2. El volumen engendrado por una superficie que gira alrededor de un eje situado en su plano y que no lo corta, es igual al producto del área por la longitud del arco descrito por el centroide.

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