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  • 14 nov. 2012

    TEOREMA DEL VALOR MEDIO, VERSIONES DE: ROLLE, LAGRANGE Y CAUCHY (PDF)




    CONTENIDO

    1. TEOREMA DE ROLLE:

    Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo abierto (a,b) y f(a)=f(b), entonces existe al menos un punto c entre a y b para el cual f'(c)=0.

    a) f es continua en [a,b] f es derivable en (a,b) f(a)=f(b)
    b) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=0

    Interpretado geométricamente, significa que si una curva alcanza el mismo valor en dos puntos, entonces debe poseer una tangente horizontal en algún punto intermedio.


    1. Demostración:
    2. Teorema de Weierstrass: Es un teorema de análisis real que establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado (de números reales) alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos del intervalo. El teorema establece que una función continua transforma intervalos compactos en intervalos compactos, entendiéndose por intervalo compacto aquel que es cerrado (sus puntos frontera le pertenecen) y acotado.

    2. TEOREMA DE LAGRANGE:


    También llamado teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo.

    Para una función que cumpla la hipótesis de ser definida y continua [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) en que la pendiente de la curva es igual que la pendiente media de la curva en el intervalo cerrado [a, b].

    En esencia el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).


    El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si una función es definida y continua [ a , b ], diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y toma valores iguales en los extremos del intervalo; en otras palabras, f ( a ) = f ( b ), entonces existe al menos algún punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f '( c) = 0.


    1. Demostración:



    3. TEOREMA DE CAUCHY (Teorema Generalizado del Valor Medio)

    Cauchy fue pionero en el análisis matemático y la teoría de grupos de permutaciones, contribuyendo de manera medular a su desarrollo. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.

    1. Demostración:



    4. EJERCICIOS DE LOS TEOREMAS DE ROLLE, LAGRANGE Y CAUCHY



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