1. OBJETIVOS:
· Determinar la
ecuación empírica que relaciona el periodo y la longitud de un péndulo simple.
· Graficar la
ecuación empírica obtenida.
2. FUNDAMENTO
TEÓRICO:
Por lo general, al ocurrir un fenómeno se relacionan dos
variables, de tal modo que, al variar una de ellas, también varia la otra.
La relación de dependencia que existe entre dos cantidades,
puede ser expresada en forma esquemática, utilizando una gráfica.
Cuando un fenómeno ocurre es útil tomar datos experimentales
y elaborar graficas y ecuaciones matemáticas con el fin de relacionar
magnitudes que interviene en el fenómeno de una forma más precisa.
2.1. ECUACIÓN EMPÍRICA:
Es una ecuación obtenida a partir del grafico de un conjunto
de valores experimentales de dos variables, la relación entre las dos variables
se expresa mediante la función matemática:
Y = f(x)
Donde: “y” es la variable dependiente o función y “x” es la
variable independiente.
2.2. TIPOS DE RELACIONES
Dentro de
las funciones más comunes tenemos:
2.2.1. RELACIÓN LINEAL
Las variables dependientes e independientes están
relacionadas directamente en forma
proporcional, su gráfica es una línea recta. (Fig.1)
y = a + bx…. (1)
“a”, es el intercepto: distancia del origen de coordenadas
al punto donde la recta intercepta al eje vertical; b, es la pendiente de la
recta, es decir:
2.2.2. FUNCIÓN POTENCIAL:
La variable dependiente está relacionada con la variable
independiente mediante una potencia de esta última.
2.3. LA LÍNEA
RECTA:
De las gráficas anteriores. La línea recta es muy útil
porque nos da más información acerca del experimento en estudio:
Y= Ax + b
2.3.1. LINEALIZACIÓN DE LA CURVA:
2.4. PÉNDULO:
Dispositivo formado por un objeto suspendido de un punto
fijo y que oscila de un lado a otro bajo la influencia de la gravedad. Los
péndulos se emplean en varios mecanismos, como por ejemplo algunos
relojes............
2.5. DETERMINACIÓN DE LAS CONSTANTES
2.5.2. MÉTODO ESTADÍSTICO
2.5.1. METODO GRAFICO
3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:
1. DATOS
EXPERIMENTALES
Los datos obtenidos en el experimento se muestran en la
siguiente tabla, es necesario precisar que la desviación utilizada fue de 30º
grados:
2. ANALISIS DE DATOS
EXPERIMENTALES:
5.1. METODO GRÁFICO:
Con los datos obtenidos en la TABLA Nº1 se realizó el primer
gráfico que se muestra a continuación:
En el grafico Nº1 Observamos que el resultado de nuestros
datos experimentales es una curva. Sabemos que la mayor información de un
fenómeno, se puede obtener cuando los valores de sus variables pueden
representarse mediante una línea recta, por esta razón fue conveniente
convertir las variables de la curva en una relación lineal.
Al ser el gráfico de los datos experimentales una curva, la
ecuación empírica tendrá la forma:
Y = KXn
Donde k y n son constantes a determinar.
Para linealizar la curva debemos tomar logaritmos naturales
de los datos experimentales. Estos se expresan como X* y Y* en la siguiente tabla:
Sea X*: Logaritmo natural de X
Y*: Logaritmo
natural de Y
El gráfico correspondiente a esta tabla se muestra a
continuación:
En el grafico Nº 2 observamos que los resultados obtenidos
del X*y Y* forman una recta.
Ahora, determinamos las constantes K y n para obtener la
ecuación empírica de la recta.
y=kxn
1°. La ecuación puede ser linealizada tomando logaritmos y
haciendo el cambio de variables, así:
2°. Calculamos K y n
3º. Reemplazando los datos obtenidos en la ecuación
empirica, tenemos:
Por lo tanto, la ECUACIÓN EMPÍRICA obtenida por el método
grafico es:
T=0.23L0.47
Regresando al grafico nos damos cuenta, son pocos los puntos
en donde no pasa la línea recta, como por ejemplo los de longitud 5 y 25 cm,
como sabemos esto se debe a que el método grafico no es muy preciso y ni
exacto. Por ello es necesario realizar el mismo procedimiento utilizando el
método estadístico.
5.2. METODO ESTADISTICO:
Este método tiene la ventaja de minimizar los errores
experimentales, proporcionándonos un
arreglo lineal, y dándonos así la ecuación de la recta que más se ajuste con la
realidad del experimento.
A continuación se muestra la tabla con los nuevos y
definitivos datos obtenidos. Las formulas para su resolución han sido vistas en
el fundamento teórico anteriormente.
TABLA Nº 3
3. RESULTADOS:
3.1. RESULTADO 1:
El siguiente grafico (Nº3) corresponde a la TABLA Nº 3. Esta
grafica es el resultado del método estadístico aplicado para hallar la ecuación
empirica final.
Observamos en el grafico la curva precisa del experimento
hecho con el péndulo simple. Ahora determinamos la ecuación empirica final en
el siguiente resultado.
3.2.
RESULTADO Nº2
1ºAplicamos las fórmulas del método estadístico, detallados
anteriormente en el fundamento teórico.
Por lo tanto, la ecuación empírica obtenida utilizando el
método estadístico es:
T=0.25L0.45
3.3.
RESULTADO Nº 3
Es necesario conocer el
margen de error entre los dos métodos utilizados: el método gráfico y el
método estadístico. Para su mejor
visualización, lo presentamos en el siguiente grafico (Nº 4).
Tomemos en cuenta las Ecuaciones Empíricas obtenidas en cada
caso:
6.3.1. ECUACION EMPIRICA DEL METODO GRAFICO
T=0.23L0.47
6.3.2. ECUACION EMPIRICA DEL METODO ESTADISTICO
T=0.25L0.45
Como podemos observar en el grafico, nuestro margen de error
ha sido mínimo.
4. CONCLUSIONES:
Luego de haber desarrollado el análisis de datos
experimentales y realizado los procedimientos necesarios, concluimos lo
siguiente:
· Constatando
con la teoría dada, concluimos que el método estadístico es más preciso y
exacto que el método grafico.
· Luego de
comparar los gráficos de los métodos: grafico y estadístico obtenemos los
siguientes márgenes de error:
ü Para la constante K
el margen de error es de 0.02.
ü Para el valor de n
(B*) el margen de error es de 0.02
ü Para A* el error es
de -0.09
En
general el margen de error es mínimo.
· La ecuación
empírica obtenida es:
T=0.25L0.45
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