ESPACIOS VECTORIALES. (formato Word)

ESPACIOS VECTORIALES.(formato word)

i)                   Condiciones para la adición:

ii)                 Condiciones para la multiplicación:

Nota 1. De aquí en adelante, a los elementos de un campo los llamaremos escalares.

Algunos ejemplos de campos

Los ejemplos más conocidos e importantes de campos son: los números racionales, reales y complejos. La verificación de de que éstos conjuntos son ejemplos de campos, lo dejamos como ejercicio, ya que, es una tarea sencilla.

Ejemplos de espacios vectoriales

SUBESPACIOS VECTORIALES

Definición 3. Si es un espacio vectorial sobre el campo y si , entonces es un subespacio de , si bajo las operaciones de  , es un espacio vectorial por si mismo sobre .

El primer problema que se debe establecer, es el de determinar las condiciones bajo las cuales W de hecho es un subespacio. Debemos tener bien en claro que no es necesario comprobar los axiomas de asociatividad de la adición, conmutatividad de la adición tampoco los axiomas de asociatividad escalar y la distributividad de la multiplicación de un escalar con respecto a la adición vectorial y escalar; puesto que son válidas para cualquier subconjunto de V.

Las condiciones que parecen más inofensivas son A₁ y M_1, que vienen a ser la cerradura de la adición vectorial y la cerradura de la multiplicación por un escalar respectivamente, que son precisamente las que se deben comprobarse.

Supongamos, que para un subconjunto no vacío W de V se verifica la condición M_1, entonces existe un elemento w₁ÎW, de manera que: 0. w₁ = 0ÎW. También, para cada wÎW, se tendría que: (-1) w = -w ÎW. De manera que A₄ y A₅ se deducen de M₁.

Luego, podemos concluir que: cualquier subconjunto no vacío W de un espacio vectorial V, será un subespacio, si W es cerrado bajo la adición vectorial y la multiplicación escalar. Las dos combinaciones de cerradura se pueden combinar en una sola proposición:

Sea V un espacio vectorial y f ¹ W V. Decimos que W es un subespacio de V, si para w₁, w₂ÎW y a, bÎF, entonces (a w₁+b w₂)ÎW.

Combinación Lineal, Independencia Lineal y Bases

Definición 4. Si V es un espacio vectorial sobre el campo F y si , entonces cualquier elemento de la forma: donde a_iÎF, i = , se llama combinación lineal de los vectores  , sobre el campo F. Es decir, si algún vector , entonces  diremos que  es una combinación

Base y Dimensión de un Espacio Vectorial

Definición 8. Cualquier espacio vectorial que es generado por un número finito de vectores, se llama espacio vectorial de dimensión finita.

Definición 9. Si B es un conjunto de vectores de un espacio vectorial V, entonces B es una base para V, si y sólo si:

i)                    El espacio V es generado por B, es decir V = <B>, y

ii)                  B es un conjunto linealmente independiente.

Suma de subespacios vectoriales y suma directa

Espacio Cociente