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  • 26 oct. 2010

    Método de iteración de Jacobi método iterativo de Gauss-Seidel. 


    Este proceso se conoce como método de iteración de Jacobi y puede usarse para
    resolver algunas clases de sistemas lineales. Tras 19 pasos, vemos que, al aplicarlo al sistema
    (3), conseguimos 9 cifras decimales de aproximacion (2.00000000, 4.00000000, 3.00000000 ).
    En la resolución numérica de ecuaciones en derivadas parciales suelen aparecer sistemas
    de ecuaciones lineales con incluso 100000 incógnitas; en estos sistemas la matriz de los coeficientes
    es dispersa; es decir, un alto porcentaje de los elementos de la matriz son iguales a cero.
    Si hay alg´un tipo de patrón en la distribución de los elementos distintos de cero (ejemplo: los sistemas tridiagonales), entonces un método iterativo puede resultar muy eficaz en la resolucion
    de estos sistemas tan enormes.
    Algunas veces el metodo iterativo de Jacobi no funciona. Vamos a realizar un experimento
    para comprobar que una reordenacion de las ecuaciones del sistema original puede tener como
    consecuencia que el método iterativo de Jacobi aplicado al nuevo sistema produzca una sucesión
    de puntos divergente.

    método iterativo de Gauss-Seidel.
    Algunas veces podemos acelerar la convergencia. Observemos que en el método iterativo de Jacobi
    (3) se produce tres sucesiones {xk}, {yk} y {zk} que convergen, respectivamente a 2, 4 y 3. Puesto
    que xk+1 es, probablemente, mejor aproximacion al lımite que xk, serıa razonable usar xk+1 en
    vez de xk a la hora de calcular yk+1 y, de forma semejante, serıa mejor usar xk+1 e yk+1 en el
    c´alculo de zk+1. El siguiente ejemplo muestra lo que ocurre cuando se aplica este razonamiento
    al sistema de ecuaciones del ejemplo 1.


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